Question

如圖，已知圓M：x²+（y-4）²=4，直線l的方程為x-2y=0，點P是直線l上一動點，過點P作圓的切線PA、PB，切點為A、B．
（1）當P的橫坐標為

16

5

時，求∠APB的大�。�
（2）求證：經過A、P、M三點的圓N必過定點，并求出所有定點的坐標．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由題可知，圓M的半徑r=2，P(

16

5

，

8

5

)，∠MAP=90°，根據(jù)MP=2r，可得∠MPA=30°，從而可求∠APB的大�。�
（2）設P的坐標，求出經過A、P、M三點的圓的方程即可得到圓過定點．

解答： 解：（1）由題可知，圓M的半徑r=2，P(

16

5

，

8

5

)，
因為PA是圓M的一條切線，所以∠MAP=90°
又因MP=

(0- 16 5 )2+(4- 8 5 )2

=4=2r，
又∠MPA=30°，∠APB=60°； （6分）
（2）設P（2b，b），因為∠MAP=90°，
所以經過A、P、M三點的圓N以MP為直徑，方程為：(x-b)2+(y-

b+4

2

)2=

4b2+(b-4)2

4

，
即（2x+y-4）b-（x²+y²-4y）=0
由

2x+y-4=0 x2+y2-4y=0

，解得

x=0 y=4

或

x= 8 5 y= 4 5

，
所以圓過定點(0，4)，(

8

5

，

4

5

)（6分）

點評：本題考查直線與圓的綜合，考查圓過定點，考查兩圓位置關系，確定圓的方程是關鍵．