Question

14．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，CB⊥C₁B，BC=1，CC₁=2，A₁B₁=$\sqrt{2}$，
（1）試在棱CC₁（不包含端點C，C₁）上確定一點E的位置，使得EA⊥EB₁；
（2）在（Ⅰ）的條件下，求AE和BC₁所成角．

Answer 1

分析 （1）由EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE?平面ABE，從而B₁E⊥平面ABE且BE?平面ABE，故BE⊥B₁E．利用余弦定理及其勾股定理即可得出．
（2）取BC中點D，則DE∥BC₁，連接AD，所以∠AED或其補角為異面直線AE和BC₁所成角所成的角．
利用余弦定理即可得出．

解答 解：（1）由EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE?平面ABE，
從而B₁E⊥平面ABE且BE?平面ABE，故BE⊥B₁E．
不妨設(shè)  CE=x，則C₁E=2-x，
∵∠BCC₁=60°，∴BE²=1+x²-x，
∵∠BCC₁=60°，∴∠B₁C₁C=120°，∴${B_1}{E^2}={x^2}-5x+7$．
在Rt△BEB₁中有1+x²-x+x²-5x+7=4，
從而x=1或x=2（當x=2時E與C₁重合不滿足題意）．
故E為CC₁的中點時，EA⊥EB₁．
（2）取BC中點D，則DE∥BC₁，連接AD，
所以∠AED或其補角為異面直線AE和BC₁所成角所成的角．
∵$AE=\sqrt{3}，DE=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，AD=\frac{3}{2}$，
∴cos∠AED=$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AED=60°．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、余弦定理與勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．