Question

6．如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，2QA=2AB=PD
（Ⅰ）證明：PQ⊥QC
（Ⅱ）求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出PQ⊥DC，PQ⊥QD，從而PQ⊥平面DCQ，由此能證明PQ⊥QC．
（Ⅱ）設(shè)AB=a，由題設(shè)知AQ為棱錐Q-ABCD的高，PQ為棱錐P-DCQ的高，由此能求出棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值．

解答 證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，2QA=2AB=PD，
∴PDAQ為直角梯形，QA⊥平面ABCD，
平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD，
又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，
∴DC⊥平面PDAQ，∴PQ⊥DC，
在直角梯形PDAQ中，DQ=PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PD，
∴PQ⊥QD，PQ⊥平面DCQ，
∴PQ⊥QC．
解：（Ⅱ）設(shè)AB=a，由題設(shè)知AQ為棱錐Q-ABCD的高，
∴棱錐Q-ABCD的體積V₁=$\frac{1}{3}{a}^{3}$，
由（Ⅰ）知PQ為棱錐P-DCQ的高，
∵PQ=$\sqrt{2}a$，△DCQ的面積為$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²，
∴棱錐P-DCQ的體積${V}_{2}=\frac{1}{3}{a}^{3}$，
∴棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值為1：1．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查兩個幾何體的體積的比值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．