(本題滿分14分)設(shè)有拋物線C:,通過原點O作C的切線,使切點P在第一象限.
(1)求m的值,以及P的坐標;
(2)過點P作切線的垂線,求它與拋物線的另一個交點Q;
(3)設(shè)C上有一點R,其橫坐標為,為使DOPQ的面積小于DPQR的面積,試求的取值范圍.
(1)斜率k=,P的坐標為(2,1)
(2)Q點的坐標為(,-4)
(3)t的取值范圍為t<或t>.
設(shè)點P的坐標為(x1, y1),則y1=kx1……①,y1= –+x1 – 4……②,
①代入②,得:+(k–)x1+4=0…………………………………………………2分
因為點P為切點,所以(k–2–16=0,得:k=或k=……………………4分
當k=時x1= -2,y1= -17;當k=時,x1= 2,y1= 1;
因為點P在第一象限,故所求的斜率k=,P的坐標為(2,1),……………6分
法二:求導(dǎo)
(2)過 P點作切線的垂線,其方程為:y=-2x+5……③,代入拋物線方程,得:
x2x+9=0,設(shè)Q點的坐標為(x2, y2),則2x2=9,所以x2=,y2=-4,
所以Q點的坐標為(,-4),………………………………………………10分
(3)設(shè)C上有一點R(t,-t2+t–4),它到直線PQ的距離為:
d==……………………………………12分
點O到直線PQ的距離PO =,SDOPQ=´PQ´OP,SDPQR=´PQ´d,
因為DOPQ的面積小于DPQR的面積,SDOPQ < SDPQR,
        即:OP < d,即:>5,……………………………………14分
+4>0或+14<0
解之得:t<或t>
所以t的取值范圍為t<或t>.……………………………16分
法二:做平行線
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