Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+{2}^{x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+m•{2}^{mx}，x＜0}\end{array}\right.$是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）求方程f（x）=0的實數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)f（-1）=-f（1），求得m；
（2）當x＞0時，令-x²+2^x=0，得到x=2，利用函數(shù)為奇函數(shù)，求出-2的函數(shù)值為0，從而得到函數(shù)的零點．

解答 解：（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，且定義域為R，所以f（-1）=-f（1），即1+m•2^-m=-（-1+2¹），解得m=-1；
（2）由（1）得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+{2}^{x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}-{2}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$，當x＞0時，令-x²+2^x=0，得到x=2，又函數(shù)為奇函數(shù)所以x＜0時，x=-2，使得f（-2）=0，
所以方程f（x）=0的實數(shù)根為2，0和-2；

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)運用；關(guān)鍵是利用函數(shù)為奇函數(shù)的性質(zhì)解題．