Question

【題目】設N=2n（n∈N* ， n≥2），將N個數(shù)x1 ， x2 ， …，xN依次放入編號為1，2，…，N的N個位置，得到排列P0=x1x2…xN ． 將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對應的前 和后 個位置，得到排列P1=x1x3…xN﹣1x2x4…xN ， 將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段 個數(shù)，并對每段作C變換，得到P2 ， 當2≤i≤n﹣2時，將Pi分成2i段，每段 個數(shù)，并對每段作C變換，得到Pi+1 ， 例如，當N=8時，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8 ， 此時x7位于P2中的第4個位置．
（1）當N=16時，x7位于P2中的第個位置；
（2）當N=2n（n≥8）時，x173位于P4中的第個位置．

Answer 1

【答案】6；3×2n﹣4+11
【解析】解：（1）當N=16時，P0=x1x2…x16 ． 由C變換的定義可得P1=x1x3…x15x2x4…x16 ，
又將P1分成兩段，每段 個數(shù)，并對每段作C變換，得到P2 ， 故P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16 ， 由此知x7位于P2中的第6個位置；
（2）考察C變換的定義及（1）計算可發(fā)現(xiàn)，第一次C變換后，所有的數(shù)分為兩段，每段的序號組成公差為2的等差數(shù)列，且第一段序號以1為首項，第二段序號以2為首項；第二次C變換后，所有的數(shù)據(jù)分為四段，每段的數(shù)字序號組成以4公差的等差數(shù)列，且第一段的序號以1為首項，第二段序號以3為首項，第三段序號以2為首項，第四段序號以4為首項，依此類推可得出P4中所有的數(shù)字分為16段，每段的數(shù)字序號組成以16為公差的等差數(shù)列，且一到十六段的首項的序號分別為1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x173位于以13為首項的那一段的第11個數(shù)，由于N=2n（n≥8）故每段的數(shù)字有2n﹣4個，以13為首項的是第四段，故x173位于第3×2n﹣4+11=3×2n﹣4+11個位置．
所以答案是3×2n﹣4+11