Question

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，令.

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，用數(shù)學(xué)歸納法證明是18的倍數(shù)．

 

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)試題解析，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；

（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)試題解析.

【解析】

試題分析：（1）由可得，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列，并可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，注意先驗(yàn)證成立，假設(shè)時(shí)成立，推出時(shí)亦成立即可．

（1）當(dāng)時(shí)，，∴. 1分

當(dāng)n≥2時(shí)，，

∴，即. 3分

∴.

即當(dāng)n≥2時(shí). 5分

∵，∴數(shù)列是首項(xiàng)為5，公差為3的等差數(shù)列. 6分

∴，即. 7分

∴. 8分

（2）.

①當(dāng)時(shí)，，顯然能被18整除； 9分

②假設(shè) 時(shí)，能被18整除， 10分

則當(dāng)時(shí)，

＝

＝

＝

＝， 13分

∵k≥1， ∴能被18整除. 14分

又能被18整除，

∴能被18整除，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立. 15分

由①②可知，當(dāng)時(shí)，是18的倍數(shù)． 16分

考點(diǎn)：數(shù)列綜合問(wèn)題、數(shù)學(xué)歸納法.