Question

已知數(shù)列{a_n}，且x=

t

是函數(shù)f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一個極值t＞0點．數(shù)列{a_n}中a₁=t，a₂=t²（且t≠1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若cn=

3nlogtan

3n- 1

，證明：

c2

2

•

c3

3

…

cn

n

＜

4

3

(n∈N?)．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)極值的定義得出數(shù)列相鄰兩項之間的關系是解決本題的關鍵，關鍵要確定出相關數(shù)列為特殊數(shù)列，從而達到求解的目的；
（2）首先要確定出c_n的表達式，利用分析法完成不等式的證明，注意約分思想的運用．

解答：解：（1）f′（x）=3a_n-1x²-3[（t+1）a_n-a_n+1]，
所以 f′(

t

)=3an-1t-3[(t+1)an-an+1]=0．整理得：a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）．
當t=1時，{a_n-a_n-1}是常數(shù)列，得a_n=1；
當t≠1時，{a_n-a_n-1}是以a₂-a₁=t²-t為首項，t為公比的等比數(shù)列，所以a_n-a_n-1=（t²-t）•t^n-2=（t-1）•t^n-1
由上式得：a_n-tⁿ=a_n-1-t^n-1，所以{a_n-tⁿ}是常數(shù)列，a_n-tⁿ=a₁-t=0，a_n=tⁿ（n≥2）．
又當t=1時上式仍然成立，故a_n=tⁿ（n∈N^*）．
（2）cn=

n•3n

3n-1

且 c1=

3

2

，所以

c2

2

•

c3

3

…

cn

n

＜

4

3

等價于

c1

1

•

c2

2

•

c3

3

…

cn

n

＜2等價于 (1-

1

3

)(1-

1

32

)…(1-

1

3n

)＞

1

2

因為 1-

1

3n

=

(1- 1 3n )(1+ 1 3n-1 )

1+ 1 3n-1

=

1+ 1 3n-1 - 1 3n - 1 32n-1

1+ 1 3n-1

=

1+ 1 3n + 1 3n - 1 32n-1

1+ 1 3n-1

≥

1+ 1 3n

1+ 1 3n-1

，
所以 (1-

1

3

)(1-

1

32

)…(1-

1

3n

)＞

1+ 1 3

1+1

•

1+ 1 32

1+ 1 3

…

1+ 1 3n

1+ 1 3n-1

=

1+ 1 3n

2

＞

1

2

，從而原命題得證．

點評：本題屬于函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合問題，首先通過數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，得出數(shù)列某些項之間的關系，然后利用數(shù)列的知識實現(xiàn)求通項和求前n項和的計算，考查分析法證明不等式的思想和意識．