已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a≥2b>0)

(1)求橢圓C的離心率的取值范圍;
(2)若橢圓C與橢圓2x2+5y2=50有相同的焦點,且過點M(4,1),求橢圓C的標準方程.
分析:(1)利用離心率公式,結合a≥2b及0<e<1,可確定橢圓C的離心率的取值范圍;
(2)由2x2+5y2=50確定其焦點,結合點M(4,1)在橢圓C上,即可求橢圓C的方程、
解答:解:(1)離心率e=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
1-
b2
a2
…(1分)
∵a≥2b,∴
b
a
1
2

e=
1-
b2
a2
1-
1
4
=
3
2
,…(3分)
又0<e<1,
e∈[
3
2
,1)
…(4分)
(2)由2x2+5y2=50得
x2
25
+
y2
10
=1
,其焦點為
15
,0)
…(5分)
點M(4,1)在橢圓C上,
16
a2
+
1
b2
=1
①…(6分)
又a2-b2=15,即a2=b2+15②…(7分)
代入①得b4-2b2-15=0,解得b2=5或b2=-3(舍去)  …(9分)
∴a2=20,
故所求橢圓C的方程為
x2
20
+
y2
5
=1
.…(10分)
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查橢圓的幾何性質(zhì),熟練掌握橢圓幾何量之間的關系是關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,橢圓C的左、右焦點分別為F1(-1,0)、F2(1,0),斜率為k(k≠0)的直線l經(jīng)過點F2,交橢圓于A、B兩點,且△ABF1的周長為8.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設點E為x軸上一點,
AF2
F2B
(λ∈R),若
F1F2
⊥(
EA
BE
)
,求點E的坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•崇明縣二模)已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
2
= 1
(a>0),其焦點在x軸上,點Q(
2
2
7
2
)
為橢圓上一點.
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)設動點P(x0,y0)滿足
OP
=
OM
+2
ON
,其中M、N是橢圓C上的點,直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
,求證:
x
2
0
+2
y
2
0
為定值;
(3)在(2)的條件下探究:是否存在兩個定點A,B,使得|PA|+|PB|為定值?若存在,給出證明;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2007•河北區(qū)一模)已知橢圓C的方程為 
x2
a2
+
y2
b2
=1 
(a>b>0),過其左焦點F1(-1,0)斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點.
(Ⅰ)若
OP
+
OQ
a
=(-3,1)共線,求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知直線l:x+y-
1
2
=0,在l上求一點M,使以橢圓的焦點為焦點且過M點的雙曲線E的實軸最長,求點M的坐標和此雙曲線E的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1,過C的右焦點F的直線與C相交于A、B兩點,向量
m
=(-1,-4),若向量
OA
-
OB
m
-
OF
共線,則直線AB的方程是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1,過C的右焦點F的直線與C相交于A、B兩點,向量
m
=(-1,-4),若向量
OA
-
OB
m
-
OF
共線,則直線AB的方程是( 。
A.2x-y-2=0B.2x+y-2=0C.2x-y+2=0D.2x+y+2=0

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