Question

3．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為4正三角形，$A{A_1}=2\sqrt{6}$，M為A₁B₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB⊥MC；
（Ⅱ）在棱CC₁上是否存在點(diǎn)P，使得MC⊥平面ABP？若存在，
確定點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中點(diǎn)O，連接OM，OC，可證MO⊥AB，AB⊥CO，從而可證AB⊥平面OMC，從而可證MC⊥AB；
（Ⅱ）當(dāng)P為棱CC₁中點(diǎn)時(shí)，MC⊥平面ABP．連接C₁M，OP．構(gòu)建相似三角形：Rt△PCO∽R(shí)t△MCC₁，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)推知MC⊥OP．

解答 解：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)O，連接OM，OC，
∵M(jìn)為A₁B₁中點(diǎn)，∴MO∥AA₁∥CC₁，又AA₁⊥平面ABC，
∴MO⊥平面ABC，
∴MO⊥AB．
∵△ABC為正三角形，
∴AB⊥CO又MO∩OC=O，
∴AB⊥平面OMC，
又∵M(jìn)C?平面OMC，
∴AB⊥MC；
（Ⅱ）當(dāng)P為棱CC₁中點(diǎn)時(shí)，MC⊥平面ABP．證明如下：
連接C₁M，OP．因?yàn)镃C₁⊥平面ABC，OC?平面ABC，
所以CC₁⊥OC，又MO∥CC₁，MO=CC₁，
四邊形MOCC₁是矩形，$OC={C_1}M=2\sqrt{3}$，$OM=C{C_1}=2\sqrt{6}$，
當(dāng)P為棱CC₁中點(diǎn)時(shí)，$\frac{CP}{OC}=\frac{{{C_1}M}}{{C{C_1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以Rt△PCO∽R(shí)t△MCC₁，
所以∠PCM+∠OPC=∠PCM+∠C₁MC=90°，
所以MC⊥OP．
又因?yàn)锳B⊥MC，AB∩OP=O，
所以MC⊥平面ABP，即當(dāng)P為棱CC₁中點(diǎn)時(shí)，MC⊥平面ABP．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了異面直線垂直的證明，用到了線面垂直的判定與性質(zhì)定理，同時(shí)考查了空間向量的應(yīng)用，屬于難題．