【題目】在如圖所示的三棱錐中,分別是的中點.
(1)求證:平面;
(2)若為正三角形,且為上的一點,,求直線與直線所成角的正切值.
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【題目】設(shè)L為曲線C:y=在點(1,0)處的切線.
(1)求L的方程;
(2)證明:除切點(1,0)之外,曲線C在直線L的下方.
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【題目】已知圓C:x2+y2=9,點A(-5,0),直線l:x-2y=0.
(1)求與圓C相切,且與直線l垂直的直線方程;
(2)在直線OA上(O為坐標(biāo)原點),存在定點B(不同于點A),滿足:對于圓C上任一點P,都有為一常數(shù),試求所有滿足條件的點B的坐標(biāo).
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值;
(2)對于曲線上的不同兩點,如果存在曲線上的點,且使得曲線在點處的切線,則稱為弦的伴隨直線,特別地,當(dāng)時,又稱為的—伴隨直線.
①求證:曲線的任意一條弦均有伴隨直線,并且伴隨直線是唯一的;
②是否存在曲線,使得曲線的任意一條弦均有—伴隨直線?若存在,給出一條這樣的曲線,并證明你的結(jié)論;若不存在,說明理由.
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【題目】某校高一(1)班有男同學(xué)45名,女同學(xué)15名,老師按照分層抽樣的方法抽取4人組建了一個課外興趣小組.
(I)求課外興趣小組中男、女同學(xué)的人數(shù);
(II)經(jīng)過一個月的學(xué)習(xí)、討論,這個興趣小組決定選出兩名同學(xué)做某項實驗,方法是從小組里選出一名同學(xué)做實驗,該同學(xué)做完后,再從小組內(nèi)剩下的同學(xué)中選出一名同學(xué)做實驗,求選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率;
(III)在(II)的條件下,第一次做實驗的同學(xué)A得到的實驗數(shù)據(jù)為38,40,41,42,44,第二次做實驗的同學(xué)B得到的實驗數(shù)據(jù)為39,40,40,42,44,請問哪位同學(xué)的實驗更穩(wěn)定?并說明理由.
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【題目】某大學(xué)開設(shè)甲、乙、丙三門選修課,學(xué)生是否選修哪門課互不影響,已知某學(xué)生只選修甲的概率為0.08,只選修甲和乙的概率是0.12,至少選修一門的概率是0.88,用表示該學(xué)生選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積.
(1)記“函數(shù)為上的偶函數(shù)”為事件,求事件的概率;
(2)求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2) 令g(x)=(2-2m)x-f(x).
① 若函數(shù)g(x)在x∈[0,2]上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍;
② 求函數(shù)g(x)在x∈[0,2]上的最小值.
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【題目】已知橢圓的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.
(1) 求橢圓的方程;
(2) 設(shè)直線與橢圓交于、兩點,坐標(biāo)原點到直線的距離為,求面積的最大值.
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【題目】(本小題滿分12分)已知是定義在 上的奇函數(shù),且,當(dāng),時,有成立.
(Ⅰ)判斷在 上的單調(diào)性,并加以證明;
(Ⅱ)若對所有的恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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