Question

5．已知橢圓$C：\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$，F(xiàn)為橢圓的右焦點，B為橢圓的上頂點，P是橢圓上一動點．
（1）求|OP|²+|PF|²的取值范圍
（2）已知直線l：x+y=1，點P到直線l的距離為d，求d的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P$（4cosθ，\sqrt{7}sinθ）$，θ∈[0，2π）．可得|OP|²+|PF|²=18$（cosθ-\frac{2}{3}）^{2}$+15，利用二次函數(shù)的單調(diào)性與三角函數(shù)的值域即可得出．
（2）設(shè)P$（4cosθ，\sqrt{7}sinθ）$，θ∈[0，2π）．可得d=$\frac{|4cosθ+\sqrt{7}sinθ-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{23}sin（θ+φ）-1|}{\sqrt{2}}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（1）F（3，0），設(shè)P$（4cosθ，\sqrt{7}sinθ）$，θ∈[0，2π）．
則|OP|²+|PF|²=16cos²θ+7sin²θ+（4cosθ-3）²+7sin²θ
=18cos²θ-24cosθ+23
=18$（cosθ-\frac{2}{3}）^{2}$+15∈[15，65]．
（2）設(shè)P$（4cosθ，\sqrt{7}sinθ）$，θ∈[0，2π）．
則d=$\frac{|4cosθ+\sqrt{7}sinθ-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{23}sin（θ+φ）-1|}{\sqrt{2}}$∈$[\frac{\sqrt{46}-\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{46}+1}{2}]$，其中cosφ=$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{23}}$，sinφ=$\frac{4}{\sqrt{23}}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的單調(diào)性值域、和差化積公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．