Question

12．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}2x-y+4≥0\\ x-2y-5≤0\\ x+2y-4≤0\end{array}\right.$，則z=2x+3y的最大值與最小值之差為（　　）

• A． -$\frac{68}{3}$
• B． $\frac{371}{12}$
• C． $\frac{33}{4}$
• D． $\frac{28}{5}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}2x-y+4≥0\\ x-2y-5≤0\\ x+2y-4≤0\end{array}\right.$，作出可行域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+4=0}\\{x-2y-5=0}\end{array}\right.$，解得B（$-\frac{13}{3}$，$-\frac{14}{3}$），$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-5=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$可得A（$\frac{9}{2}$，$\frac{1}{4}$）
化目標函數(shù)z=2x+3y，
由圖可知，當直線z=2x+3y過B時，直線在y軸上的截距最小，
z有最小值為-$\frac{68}{3}$．
當直線z=2x+3y過A時，直線在y軸上的截距最大，
z有最大值為：$\frac{39}{4}$．
則z=2x+3y的最大值與最小值之差為：$\frac{39}{4}+\frac{68}{3}$=$\frac{371}{12}$．
故選：B．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．