已知定點(diǎn)F(1,0),點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)M在x軸上,PM⊥PF,設(shè)點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N.

(1)求點(diǎn)N軌跡E的方程;

(2)過F作軌跡E的兩條互相垂直的弦AB、CD,設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為G、H,求證:直線GH必過定點(diǎn)Q(3,0).

(1)解:設(shè)N(x,y),依題意,則x+xm=0,y=2yp.

又PF⊥MN,kPF·kMN=-1,

kPF=-yp,kMN=.

代入整理,得y2=4x.

(2)解:設(shè)A(xa,ya),B(xb,yb),G(xG,yG),H(xH,yH),直線AB的方程為y=k(x-1),

則①②

①-②,得yA+yB=,即yG=,代入方程y=k(x-1),解得xG=+1.

所以點(diǎn)G坐標(biāo)為(+1,).9分同理可得:點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2k2+1,-2k).

直線GH的斜率為kGH=,方程為y+2k=(x-2k2-1),

整理,得y(1-k2)=k(x-3),不論k為何值,(3,0)均滿足方程,所以直線GH恒過定點(diǎn)Q(3,0).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知定點(diǎn)F（0，1）和直線l1：y=-1，過定點(diǎn)F與直線l1相切的動(dòng)圓圓心為點(diǎn)C．
（1）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)F在直線l2交軌跡于兩點(diǎn)P、Q，交直線l1于點(diǎn)R，求
RP
•
RQ
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年寶雞市質(zhì)檢二理）  在直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)F(1,0)設(shè)平面上的動(dòng)點(diǎn)M在直線上的射影為N，且滿足.

    （1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；

    （2）若直線l是上述軌跡C在點(diǎn)M（頂點(diǎn)除外）處的切線，證明直線MN與l的夾角等于直線ME與l的夾角;

    （3）設(shè)MF交軌跡C于點(diǎn)Q，直線l交x軸于點(diǎn)P，求△MPQ面積的最小值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定點(diǎn)F(1,0)，動(dòng)點(diǎn)P在y軸(不含原點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作線段PM交x軸于點(diǎn)M，使；再延長線段MP到點(diǎn)N，使。

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡C的方程；

（Ⅱ）直線L與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，如果=－4且，求直線L的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定點(diǎn)F(1,0)，動(dòng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PM交x軸于點(diǎn)M，并延長MP到點(diǎn)N，且·=0,||=||.

(1)求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程；

(2)直線l與動(dòng)點(diǎn)N的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，若·=-4,且4≤||≤4，求直線l的斜率k的取值范圍.

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