Question

已知定點F(1,0)，動點P在y軸上運動，過點P作PM交x軸于點M，并延長MP到點N，且·=0,||=||.

(1)求動點N的軌跡方程；

(2)直線l與動點N的軌跡交于A、B兩點，若·=-4,且4≤||≤4，求直線l的斜率k的取值范圍.

Answer 1

解：(1)設N(x,y)，由條件易知P(0,),M(-x,0).

    代入||=||，化簡得y²=4x(x＞0),

    即為點N的軌跡方程.

    (2)設l與y²=4x(x＞0)交于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)兩點.

    當l與x軸垂直時，|AB|=42＜46不合題意.

    故可設l的方程為y=kx+b(k≠0).

    由·=-4，得x₁x₂+y₁y₂=-4.                 ①

    由點A、B在拋物線y²=4x(x＞0)上，

    得(y₁y₂)²=16x₁x₂.                    ②

    由①②得y₁y₂=-8.

    又由ky²-4y+4b=0.

    所以||²=(1+)(y₂-y₁)²

    =(1+)［(y₁+y₂)²-4y₁y₂］

    =(1+)(+32).

    因為4≤||≤4,

    所以96≤(1+)(+32)≤480.

    解得≤|k|≤1.

    故直線l的斜率k的取值范圍是k∈［-1,-］∪［,1］.