Question

17．如果△A₁B₁C₁ 的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A₂B₂C₂ 的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則（　�。�

• A． △A₁B₁C₁ 和△A₂B₂C₂ 都是銳角三角形
• B． △A₁B₁C₁ 和△A₂B₂C₂ 都是鈍角三角形
• C． △A₁B₁C₁ 是鈍角三角形，△A₂B₂C₂ 是銳角三角形
• D． △A₁B₁C₁ 是銳角三角形，△A₂B₂C₂ 是鈍角三角形

Answer 1

分析 首先根據(jù)正弦、余弦在（0，π）內(nèi)的符號(hào)特征，確定△A₁B₁C₁是銳角三角形；然后假設(shè)△A₂B₂C₂是銳角三角形，則由cosα=sin（$\frac{π}{2}$-α）推導(dǎo)出矛盾；再假設(shè)△A₂B₂C₂是直角三角形，易于推出矛盾；
最后得出△A₂B₂C₂是鈍角三角形的結(jié)論．

解答 解：因?yàn)椤鰽₂B₂C₂的三個(gè)內(nèi)角的正弦值均大于0，
所以△A₁B₁C₁的三個(gè)內(nèi)角的余弦值也均大于0，則△A₁B₁C₁是銳角三角形．
若△A₂B₂C₂是銳角三角形，由：
sinA₂=cosA₁=sin（$\frac{π}{2}$-A₁）
sinB₂=cosB₁=sin（$\frac{π}{2}$-B₁）
sinC₂=cosC₁=sin（$\frac{π}{2}$-C₁），
得：A₂=$\frac{π}{2}$-A₁；
B₂=$\frac{π}{2}$-B₁；
C₂=$\frac{π}{2}$-C₁；，
那么，A₂+B₂+C₂=$\frac{π}{2}$，這與三角形內(nèi)角和是π相矛盾；
若△A₂B₂C₂是直角三角形，不妨設(shè)A₂=$\frac{π}{2}$，
則sinA₂=1=cosA₁，所以A₁在（0，π）范圍內(nèi)無(wú)值．
所以△A₂B₂C₂是鈍角三角形．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正余弦函數(shù)在各象限的符號(hào)特征及誘導(dǎo)公式，同時(shí)考查反證法思想，屬于中檔題．