Question

9．已知函數(shù)$f（x）=sinx•cosx+{sin^2}x-\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期以及單調遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$，把所得圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在$（-\frac{π}{4}，0）$的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調性、周期性，得出結論．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)y=g（x）在$（-\frac{π}{4}，0）$的值域．

解答 解：（1）$f（x）=sinxcosx+{sin^2}x-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{2}=π$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，求得$kπ-\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{3π}{8}$（k∈Z），
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{8}，kπ+\frac{3π}{8}]（k∈Z）$．
（2）由（1）知$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，
將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$，
可得y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x-$\frac{π}{4}$）的圖象，
再把所得圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，可得$g（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（4x+\frac{3π}{4}）$的圖象．
∵x∈（-$\frac{π}{4}$，0），∴4x+$\frac{3π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴sin（4x+$\frac{3π}{4}$）∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴g（x）∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，即值域為 （-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調性、周期性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．