Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d，在x=±1處取得極值
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在[-1，m]（m＞-1）上的最大、最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷b，d的值，在對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，令f'（1）=0可求出c的值，進(jìn)而確定函數(shù)解析式．
（2）討論m與1和2的大小，然后研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)在[-1，m]（m＞-1）上的最大、最小值．

解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴b=d=0，f（x）=x³+cx∴f'（x）=3x²+c
∵在x=±1處取得極值∴f'（1）=0∴c=-3
∴f（x）=x³-3x；
（2）因?yàn)閙＞-1
1、當(dāng)-1＜m≤1時(shí)，f（x）在[-1，m]上單調(diào)遞減
f（x）_min=f（m）=m³-3m，f（x）_max=f（-1）=2
2、當(dāng)1＜m≤2時(shí)，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，在（1，m）上單調(diào)遞增
f（x）_min=f（1）=-2，f（x）_max=f（-1）=2
3、當(dāng)m＞2時(shí)
f（x）_min=f（1）=-2，f（x）_max=f（m）=m³-3m

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，解題時(shí)注意討論m的范圍，屬基礎(chǔ)題．