Question

19．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，其中常數(shù)a，b，c∈R．
（1）若f（3）=f（-1）=-5，且f（x）的最大值是3，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）a=1，若對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合題意得到關(guān)于a，b，c的方程組，解出即可；
（2）若對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，f（x）_max-f（x）_min≤4，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論，可得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=-5}\\{a-b+c=-5}\\{\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}=3}\end{array}\right.$，
解得：a=-2，b=4，c=1，
∴f（x）=-2x²+4x+1；
（2）函數(shù)f（x）=x²+bx+c對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4恒成立，
即f（x）_max-f（x）_min≤4，
記f（x）_max-f（x）_min=M，則M≤4．
當(dāng)|-$\frac{2}$|＞1，即|b|＞2時(shí)，M=|f（1）-f（-1）|=|2b|＞4，與M≤4矛盾；
當(dāng)|-$\frac{2}$|≤1，即|b|≤2時(shí)，M=max{f（1），f（-1）}-f（-$\frac{2}$）=$\frac{f（1）+f（-1）+|f（1）-f（-1）|}{2}$-f（-$\frac{2}$）=（1+$\frac{|b|}{2}$）²≤4，
解得：|b|≤2，
即-2≤b≤2，
綜上，b的取值范圍為-2≤b≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．