Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A（-

2

，0）、B（

2

，0），離心率e=

2

2

．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且|PC|=（

2

-1）|PQ|．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點C的軌跡E的方程；
（3）設直線MN過橢圓的右焦點與橢圓相交于M、N兩點，且|MN|=

8 2

7

，求直線MN的方程．

Answer 1

考點：圓錐曲線的軌跡問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用橢圓離心率的定義，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（2）根據(jù)|PC|=（

2

-1）|PQ|，確定C，P坐標之間的關系，即可求動點C的軌跡E的方程；
（3）分類討論，設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，計算弦長，根據(jù)|MN|=

8 2

7

，可求直線的斜率，從而可求直線MN的方程．

解答： 解：（1）由題意可得，a=

2

，
∵e=

2

2

，∴c=1，（2分）
∴b²=a²-c²=1，（3分）
所以橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．                                  （4分）
（2）設C（x，y），P（x₀，y₀），由題意得

x=x0 y= 2 y0

，即

x0=x y0= y 2

，（6分）
代入橢圓得

x2

2

+

y2

2

=1，即x²+y²=2．
即動點的軌跡E的方程為x²+y²=2．  （8分）
（3）若直線MN的斜率不存在，則方程為x=1，所以|MN|=

2

≠

8 2

7

．（9分）
所以直線MN的斜率存在，設為k，直線MN的方程為y=k（x-1），
由

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

，得(

1

2

+k2)x2-2k2x+k2-1=0．（10分）
因為△=2（k²+1）＞0，所以x1，2=

4k2± 2k2+2

2(2k2+1)

．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

          （11分）
所以|MN|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

8 2

7

，
即

1+k2

×

16k4 (1+2k2)2 - 8k2-8 1+2k2

=

8 2

7

，（12分）
解得k=±

3

．（13分）
故直線MN的方程為y=

3

（x-1）或y=-

3

（x-1）（14分）

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．