Question

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線(xiàn)-=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)，若在雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足∠F₁PF₂=60°，|OP|=a，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（ ）
A．x±y=0
B．x±y=0
C．x±y=0
D．x±y=0

Answer 1

【答案】分析：假設(shè)|F₁P|=x，進(jìn)而分別根據(jù)中線(xiàn)定理和余弦定理建立等式求得c²+5a²=14a²-2c²，求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)b=求得a和的關(guān)系進(jìn)而求得漸進(jìn)線(xiàn)的方程．
解答：解：假設(shè)|F₁P|=x
OP為三角形F₁F₂P的中線(xiàn)，
根據(jù)三角形中線(xiàn)定理可知
x²+（2a+x）²=2（c²+7a²）
整理得x（x+2a）=c²+5a²
由余弦定理可知
x²+（2a+x）²-x（2a+x）=4c²
整理得x（x+2a）=14a²-2c²
進(jìn)而可知c²+5a²=14a²-2c²
求得3a²=c²
∴c=a
b=a
那么漸近線(xiàn)為y=±x，即x±y=0
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題將解析幾何與三角知識(shí)相結(jié)合，主要考查了雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何圖形、幾何性質(zhì)、漸近線(xiàn)方程，以及斜三角形的解法，屬中檔題