Question

12．已知sinα+cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，且0＜α＜π
（Ⅰ）求tanα的值
（Ⅱ）求$\frac{sin2α}{si{n}^{2}α+sinαcosα-cos2α-1}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由sinα+cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，兩邊平方得：$2sinαcosα=-\frac{3}{5}$，再由α的范圍求出sinα-cosα，進一步得到sinα，cosα的值，則tanα的值可求；
（Ⅱ）利用三角函數的誘導公式化簡$\frac{sin2α}{si{n}^{2}α+sinαcosα-cos2α-1}$，再把tanα的值代入計算得答案．

解答 解：（Ⅰ）由sinα+cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，兩邊平方得：$2sinαcosα=-\frac{3}{5}$，
∵0＜α＜π，
∴$sinα-cosα=\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
∴$sinα=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$cosα=-\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故$tanα=\frac{sinα}{cosα}=\frac{\frac{3\sqrt{10}}{10}}{-\frac{\sqrt{10}}{10}}=-3$；
（Ⅱ）$\frac{sin2α}{si{n}^{2}α+sinαcosα-cos2α-1}$=$\frac{2tanα}{ta{n}^{2}α+tanα-2}$

=$\frac{2×（-3）}{（-3）^{2}-3-2}=-\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了三角函數的化簡求值，考查了同角三角函數的基本關系的應用以及三角函數的誘導公式，是中檔題．