Question

13．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB上一點．
（1）求BD和平面B₁CD所成的角；
（2）當E點為AB中點，求銳二面角E-B₁C-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出BD和平面B₁CD所成的角．
（2）求出平面EB₁C的法向量和平面B₁CD的法向量，利用向量法能求出銳二面角E-B₁C-D的余弦值．

解答 解：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
則B（2，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），B₁（2，2，2），
$\overrightarrow{BD}$=（-2，-2，0），$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（2，2，2），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
設平面B₁CD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=2x+2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
設BD和平面B₁CD所成的角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°，
∴BD和平面B₁CD所成的角為30°．
（2）E點為AB中點時，E（2，1，0），
$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（0，1，2），$\overrightarrow{EC}$=（-2，1，0），
設平面EB₁C的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{E{B}_{1}}=b+2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=-2a+b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，2，-1），
平面B₁CD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴銳二面角E-B₁C-D的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面角的求法，考查銳二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．