Question

7．一動圓與圓${F_1}：{（x+1）^2}+{y^2}=9$內(nèi)切，與圓${F_2}：{（x-1）^2}+{y^2}=1$外切．
（1）求動圓圓心M的軌跡L的方程；
（2）設過圓心F₂的直線l：x=my+1與軌跡L相交于A，B兩點，請問△ABF₁的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用圓${F_1}：{（x+1）^2}+{y^2}=9$內(nèi)切，與圓${F_2}：{（x-1）^2}+{y^2}=1$外切，可得|MF₁|+MF₂|=4，由橢圓定義知M在以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓上，從而可得動圓圓心M的軌跡L的方程；
（2）表示出三角形的面積，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）設動圓圓心為M（x，y），半徑為R，由題意，得|MF₁|=R+1，|MF₂|=3-R，
所以|MF₁|+MF₂|=4，由橢圓定義知M在以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓上，且a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3．
動圓圓心M的軌跡L的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＜0），
則${S_{△AB{F_1}}}=\frac{1}{2}|{F_1}{F_2}||{y_1}-{y_2}|=|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{3{m^2}+4}}\\{y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}\end{array}\right.$，${S_{△AB{F_1}}}=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\sqrt{\frac{36}{{{{（3{m^2}+4）}^2}}}+\frac{36}{{3{m^2}+4}}}=\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$，
令$t=\sqrt{{m^2}+1}$，則t≥1，且m²=t²-1，有${S_{△AB{F_1}}}=\frac{12t}{{3{t^2}+1}}=\frac{4}{{t+\frac{{\frac{1}{3}}}{t}}}$，
∵$f（t）=t+\frac{{\frac{1}{3}}}{t}$在[1，+∞）遞增，∴$f（t）＞f（1）=\frac{4}{3}$，
∴${S_{△AB{F_1}}}≤3$，此時t=1，m=0，
∴存在直線l：x=1，△ABF₁的面積最大值為3．

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查橢圓的定義，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是正確運用橢圓的定義，利用韋達定理解題．