Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=2，且nS_n+1-（n+1）S_n=n（n+1）（n∈N₊），則過A（n，a_n）和B（n+2，a_n+2）的直線的一個方向向量的坐標可以是（　�。�

• A、（2，-4）
• B、（-1，-1）
• C、（-

  1

  4

  ，-

  1

  2

  ）
• D、（1，-

  1

  2

  ）

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知得{

Sn

n

}是首項為2，公差為1的等差數列，從而Sn=n2+n，進而a_n=2n．由此得

AB

=（n+2-n，a_n+2-a_n）=（2，4），從而能求出結果．

解答： 解：∵數列{a_n}的前n項和為S_n，
a₁=2，且nS_n+1-（n+1）S_n=n（n+1）（n∈N₊），
∴

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1，又

S1

1

=2，
∴{

Sn

n

}是首項為2，公差為1的等差數列，
∴

Sn

n

=2+（n-1）=n+1，
∴Sn=n2+n，
∴a₁=S₁=1+1=2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n）-（n-1）²-（n-1）=2n，
n=1時，上式成立，故a_n=2n．
∵A（n，a_n）和B（n+2，a_n+2），
∴

AB

=（n+2-n，a_n+2-a_n）=（2，4），
∴過A（n，a_n）和B（n+2，a_n+2）的直線的一個方向向量的坐標可以是（-

1

4

，-

1

2

）．
故選：C．

點評：本題考查方向向量的坐標的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．