Question

12．已知函數(shù)f（x）=x³-2ax²+3ax，在x=1時(shí)取得極值．
（Ⅰ）求a的值．
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）-k≤0在[0，4]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到f′（1）=0，從而求出a的值，檢驗(yàn)即可；
（Ⅱ）?x∈[0，4]，f（x）-k≤0恒成立，即k≥f（x）_max，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的最大值，從而求出k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意的得f'（x）=3x²-4ax+3a，
∵x=1是函數(shù)的極值點(diǎn)，
∴f'（1）=0，
即3-4a+3a=0，
解得a=3，
經(jīng)檢驗(yàn)a=3符合題意，
∴a=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x³-6x²+9x，
?x∈[0，4]，f（x）-k≤0恒成立，
即k≥f（x）_max，
由（Ⅰ）可知f（x）在[0，1）單調(diào)遞增，在[1，3]單調(diào)遞減，（3，4]單調(diào)遞增，
∴f_max=f（1）=f（4）=4，
∴k≥4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基本知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力及化歸思想、函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．