Question

20．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA₁B₁C₁D₁中，E為棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F．

Answer 1

分析 建立空間直角坐標(biāo)系，表示出直線D₁E所在的向量與AF，AB₁所在的向量，利用線面垂直關(guān)系得到向量的數(shù)量積為0，進(jìn)而得到答案．

解答 （本小題滿分12分）
解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系：
則A（1，0，0），B₁（1，1，1），
D₁（0，0，1），E（$\frac{1}{2}$，1，0）．   
設(shè)F（0，y，0），則$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），
$\overrightarrow{AF}$=（-1，y，0），$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（$\frac{1}{2}$，1，-1），
要使D₁E⊥平面AB₁F，
只需：$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，
即：$\left\{\begin{array}{l}{1-1=0}\\{-\frac{1}{2}+y=0}\end{array}\right.$，
即：y=$\frac{1}{2}$．
∴當(dāng)F為CD中點(diǎn)時(shí)，有D₁E⊥平面AB₁F．

點(diǎn)評(píng) 解決此類問題的常用方法是，熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，通過建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)而利用空間向量即可解決線面垂直、平行關(guān)系，以及空間角與空間距離等問題，本題屬于中檔題．