設函數(shù)f(x)的定義域為D，若存在x0∈D，使f(x0)＝x0成立，則稱以(x0，x0)為坐標的點為函數(shù)f(x)圖像上的不動點．

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝圖像上有兩點關于原點對稱的不動點，求a、b應滿足的條件；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，若a＝8，記函數(shù)f(x)圖像上的兩個不動點分別為A、B，M為函數(shù)圖像上的另一點，且其縱坐標yM＞3，求點M到直線AB距離的最小值及取得最小值時M點的坐標；

(Ⅲ)下述命題“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)圖像上存在有限個不動點，則不動點有奇數(shù)個”是否正確？若正確，請給予證明，并舉出一例；若不正確，請舉一反例說明．

答案：
解析：

 　　解：(Ⅰ)若點(x0，y0)是不動點，則有f(x0)＝ ＝x0，

　　解：(Ⅰ)若點(x0，y0)是不動點，則有f(x0)＝＝x0，

　　即x02＋(b－3)x0－a＝0．(*)

　　由題意，知(*)有兩個根，且這兩個根絕對值相等，符號相反，由韋達定理得

　　b－3＝0，且－a＜0　　∴b＝3，且a＞0

　　而f(x)＝＝3＋，知a≠9．

　　故a、b應滿足b＝3，a＞0且a≠9．

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)，當a＝8，f(x)＝．

　　令x＝，解得A(2，2)，B(－，－)．

　　∴直線AB的方程是y＝x．

　　設點M(x，y)，M到直線y＝x的距離為d，則

　　d＝＝＝

　�。�·＝·＝[(y＋3)＋]

　�。�[(y－3)＋＋6]≥(2＋6)＝．

　　∴當且僅當y－3＝即y＝4時，上式取等號，此時x＝－4．故M(－4，4)．

　　(Ⅲ)命題正確

　　由f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，取x＝0，得f(0)＝0即(0，0)為函數(shù)的一個不動點．

　　設函數(shù)f(x)除0以外還有不動點(x，x)(x≠0)，則f(x)＝x．

　　又f(－x)＝－f(x)＝－x，故(－x，－x)也為函數(shù)不動點．

　　綜上若定義在R上的奇函數(shù)f(x)圖像上存在有限個不動點，則不動點有奇數(shù)個．　　例如f(x)＝x3－x．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2004年高考教材全程總復習試卷·數(shù)學 題型：044

設函數(shù)f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)

(1)當a＝2時，求f(x)的最小值．

(2)當0＜a＜1時，判斷f(x)的單調性，并寫出f(x)的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2004全國各省市高考模擬試題匯編(天利38套)·數(shù)學 題型：044

設函數(shù)f(x)＝x2－2mx＋m2＋1(m∈R+)，g(x)＝x＋(k∈R+)．

(1)當x∈(0，∞)時，f(x)和g(x)都滿足：存在實數(shù)a，使f(x)≥f(a)，g(x)≥g(a)且f(a)＝g(a)－m．求f(x)和g(x)的表達式；

(2)(文科不做、理科做)對于(1)中的f(x)，設實數(shù)b滿足|x－b|＜1．

求證：|f(x)－f(b)|＜2|b|＋5．

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科目：高中數(shù)學 來源：2004全國各省市高考模擬試題匯編(天利38套)·數(shù)學 題型：044

設函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a、b∈R)

(1)若f(－1)＝0，則對任意實數(shù)均有f(x)≥0成立，求f(x)的表達式．

(2)(文)在(1)的條件下，當x∈[－2，2]時，g(x)＝f(x)－kx是單調函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

(理)在(1)的條件下，當x∈[－2，2]時，g(x)＝xf(x)－kx是單調遞增，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2004年高考教材全程總復習試卷·數(shù)學 題型：044

設函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋lg|a＋1|(a≠－1，a∈R)

(1)求證：f(x)能表示成一個奇函數(shù)g(x)和一個偶函數(shù)h(x)之和，并求出g(x)和h(x)的表達式．

(2)若f(x)和g(x)在區(qū)間[|a＋1|，a2]上均為減函數(shù)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：成功之路·突破重點線·數(shù)學（學生用書） 題型：044

設函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a、b∈R)

(1)若f(－1)＝0，則對任意實數(shù)均有f(x)≥0成立，求f(x)的表達式．

(2)在(1)條件下，當x∈[－2，2]，g(x)＝xf(x)－kx單調遞增，求實數(shù)k的取值范圍．

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