Question

設函數f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三條邊長，則下列結論正確的是

 

．
①對任意x∈（-∞，1），都有f（x）＜0；
②存在x∈R，使a^x，b^x，c^x不能構成一個三角形的三條邊長；
③若△ABC為鈍角三角形，存在x∈（1，2）使f（x）=0．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,函數與方程的綜合運用

專題：函數的性質及應用

分析：①變形f(x)=cx[(

a

c

)x+(

b

c

)x-1]，由0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1，利用指數函數的單調性
可得(

a

c

)x+(

b

c

)x-1＞

a

c

+

b

c

-1＞0，進而得到f（x）＞0，即可判斷出；
②令x=-1，a=2，b=4，c=5．則a^x=

1

2

，b^x=

1

4

，c^x=

1

5

，即可判斷出；
③若三角形為鈍角三角形，利用余弦定理可得：a²+b²-c²＜0．由于f（1）＞0，f（2）＜0．
利用函數零點判定定理即可判斷出．

解答： 解：①f(x)=cx[(

a

c

)x+(

b

c

)x-1]，由0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1，
對?x∈（-∞，1），(

a

c

)x+(

b

c

)x-1＞

a

c

+

b

c

-1＞0，∴f（x）＞0，∴命題①不正確；
②令x=-1，a=2，b=4，c=5．則a^x=

1

2

，b^x=

1

4

，c^x=

1

5

，不能構成一個三角形的三條邊長．
∴命題②正確；
③若三角形為鈍角三角形，則a²+b²-c²＜0．
f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0．
∴?x∈（1，2），使f（x）=0．因此③正確．
綜上可知：只有②③正確．
故答案為：②③．

點評：本題綜合考查了指數函數的單調性、組成三角形三邊的關系、余弦定理、函數零點存在判斷定理等基礎知識與基本技能方法，考查了變形轉化解決問題的能力，屬于難題．