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給出定義:若m-
1
2
<x≤m +
1
2
(其中m為整數),則m叫做離實數x最近的整數,記作{x},即{x}=m.在此基礎上給出下列關于函數f(x)=x-{x}的四個命題:
①y=f(x)的定義域是R,值域是(-
1
2
,
1
2
]
;
②點(k,0)是y=f(x)的圖象的對稱中心,其中k∈Z;
③函數y=f(x)的最小正周期為1;
④函數y=f(x)在(-
1
2
,
3
2
]
上是增函數.
則上述命題中真命題的序號是
①③
①③
分析:依據函數定義,得到f(x)=x-{x}∈(-
1
2
,
1
2
]
,再對四個命題逐個驗證后,即可得到正確結論.
解答:解:由題意知,{x}-
1
2
<x≤
{x}+
1
2
,則得到f(x)=x-{x}∈(-
1
2
,
1
2
]
,則命題①為真命題;
由于k∈Z時,f(k)=k-{k}=k-k=0,但由于f(x)∈(-
1
2
,
1
2
]
,故函數不是中心對稱圖形,故命題②為假命題;
由題意知,函數f(x)=x-{x}∈(-
1
2
,
1
2
]
的最小正周期為1,則命題③為真命題;
由于,{x}-
1
2
<x≤
{x}+
1
2
,則得到f(x)=x-{x}為分段函數,且在(-
1
2
1
2
]
,(
1
2
,
3
2
]
為增函數,
但在區(qū)間(-
1
2
,
3
2
]
上不是增函數,故命題④為假命題.
正確的命題為①③
故答案為①③.
點評:本題考查的知識點是,判斷命題真假,我們可以根據給定函數的定義對四個結論逐一進行判斷,屬于基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

給出定義:若m-
1
2
<x≤m+
1
2
(其中m為整數),則m叫做離實數x最近的整數,記作{x},即{x}=m.在此基礎上給出下列關于函數f(x)=x-{x}的四個命題:
①y=f(x)的定義域是R,值域是(-
1
2
,
1
2
];
②點(k,0)(k∈Z)是y=f(x)的圖象的對稱中心;
③函數y=f(x)的最小正周期為1;
④函數y=f(x)在(-
1
2
,
3
2
]上是增函數;
則其中真命題是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

給出定義:若m-
1
2
<x≤m+
1
2
(其中m為整數),則m叫做離實數x最近的整數,記作{x},即{x}=m,在此基礎上給出下列關于函數f(x)=x-{x}的四個命題:
①y=f(x)的定義域是R,值域是(-
1
2
,
1
2
];
②點(k,0)(k∈Z)是y=f(x)的圖象的對稱中心;
③函數y=f(x)在(-
1
2
,
3
2
]上是增函數;
④函數y=f(x)的最小正周期為1;
則其中真命題是
①④
①④

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•門頭溝區(qū)一模)給出定義:若m-
1
2
≤x<m+
1
2
(其中m為整數),則m叫離實數x最近的整數,記作[x]=m,已知f(x)=|[x]-x|,下列四個命題:
①函數f(x)的定義域為R,值域為[0,
1
2
]
; ②函數f(x)是R上的增函數;
③函數f(x)是周期函數,最小正周期為1;  ④函數f(x)是偶函數,
其中正確的命題的個數是(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•昌平區(qū)二模)給出定義:若m-
1
2
<x≤m+
1
2
(其中m為整數),則m叫做離實數x最近的整數,記作{x}=m,在此基礎上給出下列關于函數f(x)=x-{x}的四個命題:
①函數y=f(x)的定義域為R,最大值是
1
2
;②函數y=f(x)在[0,1]上是增函數;
③函數y=f(x)是周期函數,最小正周期為1;④函數y=f(x)的圖象的對稱中心是(0,0).
其中正確命題的序號是
①③
①③

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科目:高中數學 來源: 題型:

給出定義:若m-
1
2
<x≤m+
1
2
(m∈Z),則m叫做離實數x最近的整數,記作{x},即{x}=m;在此基礎上有函數f(x)=|x-{x}|(x∈R).對于函數f(x)給出如下判斷:①函數f(x)是偶函數;②函數f(x)是周期函數;③函數f(x)在區(qū)間(-
1
2
1
2
]
上單調遞增;④函數f(x)的圖象關于直線x=k+
1
2
(k∈Z)對稱.則以上判斷中正確結論的個數是(  )

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