Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4{t^2}\\ y=4t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)x軸的正半軸為極軸建極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ-sinθ）=4，且與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）在直角坐標(biāo)系下求曲線C與直線l的普通方程；
（Ⅱ）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求曲線C與直線l的普通方程；
（Ⅱ）求出|AB|，O到直線l的距離，即可求△AOB的面積．

解答 解：（Ⅰ）已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4{t^2}\\ y=4t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)得y²=4x，
直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ-sinθ）=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ得普通方程為x-y-4=0；
（Ⅱ）已知拋物線y²=4x與直線x-y-4=0相交于A，B兩點(diǎn)，
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ x-y-4=0\end{array}\right.$，得$|AB|=4\sqrt{10}$，O到直線l的距離$d=\frac{|0-0-4|}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}$，
所以△AOB的面積為$S=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×4\sqrt{10}=8\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．