Question

19．已知點F₂，P分別為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右焦點與右支上的一點，O為坐標原點，若2$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F_2}}，|{\overrightarrow{O{F_2}}}|=|{\overrightarrow{{F_2}M}}$|，且$\overrightarrow{O{F_2}}•\overrightarrow{{F_2}M}=\frac{c^2}{2}$，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $2\sqrt{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$

Answer 1

分析 方法一：由題意可知：則M為線段PF₂的中點，則M（$\frac{x+c}{2}$，$\frac{y}{2}$），根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得x=2c，利用兩點之間的距離公式，即可求得y=$\sqrt{3}$c，利用雙曲線的定義，即可求得a=（$\sqrt{3}$-1）c，利用雙曲線的離心率公式即可求得該雙曲線的離心率．
方法二：由題意可知：2$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$，則M為線段PF₂的中點，根據(jù)向量的數(shù)量積，求得cos∠OF₂M，利用余弦定理即可求得丨OM丨，根據(jù)三角形的中位線定理及雙曲線的定義丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a，a=（$\sqrt{3}$-1）c，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：設P（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由題意可知：2$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$，則M為線段PF₂的中點，則M（$\frac{x+c}{2}$，$\frac{y}{2}$），
則$\overrightarrow{O{F}_{2}}$=（c，0），$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=（$\frac{x-c}{2}$，$\frac{y}{2}$），
則$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=$\frac{x-c}{2}$×c=$\frac{{c}^{2}}{2}$解得：x=2c，
由丨$\overrightarrow{O{F}_{2}}$丨=丨$\overrightarrow{{F}_{2}M}$丨=c，即$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4}}$=c，解得：y=$\sqrt{3}$c，
則P（2c，$\sqrt{3}$c），由雙曲線的定義可知：丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a，
即$\sqrt{（3c）^{2}+3{c}^{2}}$-$\sqrt{{c}^{2}+3{c}^{2}}$=2a，a=（$\sqrt{3}$-1）c，
由雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴該雙曲線的離心率$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故選D．
方法二：由題意可知：2$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$，則M為線段PF₂的中點，
則OM為△F₂F₁P的中位線，
$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=-$\overrightarrow{{F}_{2}O}$•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=-丨$\overrightarrow{{F}_{2}O}$丨•丨$\overrightarrow{{F}_{2}M}$丨cos∠OF₂M=$\frac{{c}^{2}}{2}$，
由丨$\overrightarrow{O{F}_{2}}$丨=丨$\overrightarrow{{F}_{2}M}$丨=c，則cos∠OF₂M=-$\frac{1}{2}$，
由正弦定理可知：丨OM丨²=丨$\overrightarrow{O{F}_{2}}$丨²+丨$\overrightarrow{{F}_{2}M}$丨²-2丨$\overrightarrow{O{F}_{2}}$丨丨$\overrightarrow{{F}_{2}M}$丨cos∠OF₂M=3c²，
則丨OM丨=$\sqrt{3}$c，則丨PF₁丨=2$\sqrt{3}$，丨PF₂丨=丨MF₂丨=2c，
由雙曲線的定義丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a，a=（$\sqrt{3}$-1）c，
由雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴該雙曲線的離心率$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故選D．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，向量的坐標運算，兩點之間的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．