Question

6．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-a|．
（1）當(dāng)a=2時，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）當(dāng)x∈R時，f（x）≥3a+2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用分段函數(shù)，分類討論求得不等式的解集．
（2）先利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值，再根據(jù)最小值大于或等于3a+2，求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時，f（x）=|2x-1|+|2x-2|．
當(dāng)x≤$\frac{1}{2}$時，不等式化為-2x+1-2x+2＜2，∴x＞$\frac{1}{4}$，∴$\frac{1}{4}$＜x≤$\frac{1}{2}$；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜1時，不等式化為2x-1-2x+2＜2，恒成立；
當(dāng)x≥1時，不等式化為2x-1+2x-2＜2，∴求得1≤x＜$\frac{5}{4}$．
綜上可得，不等式f（x）≤x+5的解集為{x|$\frac{1}{4}$x＜$\frac{5}{4}$}．
（2）f（x）=|2x-1|+|2x-a|≥|2x-1-（2x+a）|=|a-1|，
當(dāng)x∈R時，f（x）≥3a+2恒成立，得|a-1|≥3a+2，得-$\frac{3}{2}$≤a≤-$\frac{1}{4}$，實數(shù)a的取值范圍為-$\frac{3}{2}$≤a≤-$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．