Question

14．傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮，央視科教頻道以詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽為主的《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》火爆熒屏．將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，隨機(jī)從中抽取了100名選手進(jìn)行調(diào)查，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級(jí)人數(shù)的條形圖．
（Ⅰ）若將一般等級(jí)和良好等級(jí)合稱為合格等級(jí)，根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有95%的把握認(rèn)為選手成績(jī)“優(yōu)秀”與文化程度有關(guān)？

	優(yōu)秀	合格	合計(jì)
大學(xué)組
中學(xué)組
合計(jì)

注：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（k2≥k0）	0.10	0.05	0.005
k0	2.706	3.841	7.879

（Ⅱ）若參賽選手共6萬(wàn)人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)其中優(yōu)秀等級(jí)的選手人數(shù)；
（Ⅲ）在優(yōu)秀等級(jí)的選手中取6名，依次編號(hào)為1，2，3，4，5，6，在良好等級(jí)的選手中取6名，依次編號(hào)為1，2，3，4，5，6，在選出的6名優(yōu)秀等級(jí)的選手中任取一名，記其編號(hào)為a，在選出的6名良好等級(jí)的選手中任取一名，記其編號(hào)為b，求使得方程組$\left\{\begin{array}{l}ax+by=3\\ x+2y=2\end{array}\right.$有唯一一組實(shí)數(shù)解（x，y）的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條形圖可知2×2列聯(lián)表，計(jì)算k²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）由條形圖知，所抽取的100人中，優(yōu)秀等級(jí)有75人，故優(yōu)秀率為$\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$．可得其中優(yōu)秀等級(jí)的選手人數(shù)；
（Ⅲ）確定基本事件的個(gè)數(shù)，即可求出使得方程組$\left\{\begin{array}{l}ax+by=3\\ x+2y=2\end{array}\right.$有唯一一組實(shí)數(shù)解（x，y）的概率．

解答 解：（Ⅰ）由條形圖可知2×2列聯(lián)表如下

	優(yōu)秀	合格	合計(jì)
大學(xué)組	45	10	55
中學(xué)組	30	15	45
合計(jì)	75	25	100

${K^2}=\frac{{100×{{（45×15-10×30）}^2}}}{75×25×45×55}=\frac{100}{33}≈3.030＜3.841$…（4分）
∴沒(méi)有95%的把握認(rèn)為優(yōu)秀與文化程度有關(guān)．…（5分）
（Ⅱ）由條形圖知，所抽取的100人中，優(yōu)秀等級(jí)有75人，故優(yōu)秀率為$\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$．
∴所有參賽選手中優(yōu)秀等級(jí)人數(shù)約為$6×\frac{3}{4}=4.5$萬(wàn)人．…（8分）
（Ⅲ）a從1，2，3，4，5，6中取，b從1，2，3，4，5，6中取，故共有36種，
要使方程組$\left\{\begin{array}{l}ax+by=3\\ x+2y=2\end{array}\right.$有唯一組實(shí)數(shù)解，則$\frac{a}≠\frac{1}{2}$，共33種情形．
故概率$P=\frac{33}{36}=\frac{11}{12}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的運(yùn)用，考查概率的求解，考查學(xué)生的讀圖能力，屬于中檔題．