Question

設△ABC的三內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且b（cosA-3cosC）=（3c-a）cosB．
（Ⅰ）求

sinA

sinC

的值；
（Ⅱ）若cosB=

1

6

，且△ABC的周長為14，求b的值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（I）由b（cosA-3cosC）=（3c-a）cosB．利用正弦定理可得：

cosA-3cosC

cosB

=

3sinC-sinA

sinB

．化簡整理即可得出．
（II）由

sinA

sinC

=

1

3

得c=3a．利用余弦定理及cosB=

1

6

即可得出．

解答： 解：（I）∵b（cosA-3cosC）=（3c-a）cosB．
由正弦定理得，

cosA-3cosC

cosB

=

3sinC-sinA

sinB

．
即（cos A-3cos C）sin B=（3sin C-sin A）cos B，
化簡可得sin（A+B）=3sin（B+C）．
又A+B+C=π，
∴sin C=3sin A，因此

sinA

sinC

=

1

3

．
（II）由

sinA

sinC

=

1

3

得c=3a．
由余弦定理及cosB=

1

6

得
b²=a²+c²-2accos B=a²+9a²-6a²×

1

6

=9a²．
∴b=3a．又a+b+c=14．從而a=2，因此b=6．

點評：本題考查了正弦定理余弦定理的應用、兩角和差的正弦公式、誘導公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．