Question

8．若實(shí)數(shù)m，n滿足4m-3n=10，則$\sqrt{{m^2}+{n^2}}$的最小值為2．

Answer 1

分析 $\sqrt{{m^2}+{n^2}}$的幾何意義為：點(diǎn)（m，n）到原點(diǎn)（0，0）的距離，$\sqrt{{m^2}+{n^2}}$的最小值即為原點(diǎn)到直線4x-3y=10的距離，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：$\sqrt{{m^2}+{n^2}}$的幾何意義為：點(diǎn)（m，n）到原點(diǎn)（0，0）的距離．
∵實(shí)數(shù)m，n滿足4m-3n=10，
∴點(diǎn)（m，n）在直線4x-3y=10上，
當(dāng)點(diǎn)（m，n）與原點(diǎn)（0，0）的連線垂直于直線4x-3y=10時(shí)，$\sqrt{{m^2}+{n^2}}$最�。�
即原點(diǎn)（0，0）到直線4x-3y=10的距離為$\frac{|-10|}{\sqrt{{4}^{2}+（-3）^{2}}}$=2．
則$\sqrt{{m^2}+{n^2}}$的最小值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查最值的求法，注意運(yùn)用$\sqrt{{m^2}+{n^2}}$的幾何意義，點(diǎn)到直線的距離公式，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題．