Question

如圖，四棱錐的底面為一直角梯形，側(cè)面PAD是等邊三角形，其中，,平面底面，是的中點(diǎn)．

(1)求證://平面；

(2)求與平面BDE所成角的余弦值；

(3)線段PC上是否存在一點(diǎn)M，使得AM⊥平面PBD，如果存在，求出PM的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

解 (1)取PD中點(diǎn)F，連接AF, EF

則,                                

又，

∴     

∴          

∴四邊形ABEF是平行四邊形      

∴AF∥BE   又平面PAD，平面PAD

∴//平面                                 

（2）過(guò)C作DE的垂線，交DE的延長(zhǎng)線于N，連接BN

∵平面底面，

∴平面

∴AF   又AF⊥PD，

∴AF⊥平面PCD

∴BE⊥平面PCD

∴BE⊥CN，又CN⊥DE，

∴CN⊥平面BDE

∴CBN就是直線與平面BDE所成角        

令A(yù)D=1，,易求得，

∴sinCBN=

∴cosCBN=

 故與平面BDE所成角的余弦值為                  

（3）假設(shè)PC上存在點(diǎn)M，使得AM⊥平面PBD  則AM⊥PD,由（2）AF⊥PD

∴PD⊥平面AFM，又PD⊥平面ABEF

故點(diǎn)M與E重合。                           

取CD中點(diǎn)G，連接EG,AG

易證BD⊥AG，又BD⊥AE

∴BD⊥平面AEG

∴BD⊥EG

∴BD⊥PD,又PD⊥CD

∴PD⊥平面BCD

從而PD⊥AD,這與⊿PAD是等邊三角形矛盾

故PC上不存在點(diǎn)M滿足題意。