Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（1）求k值；
（2）若f（1）= ，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為﹣2，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，

∴f（0）=0，

∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2，

經(jīng)檢驗(yàn)知：k=2滿足題意

（2）解：∵f（1）= ，a﹣ = ，即2a2﹣3a﹣2=0，

解得a=2或﹣ ，其中a=﹣ 舍去．

∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．

令t=f（x）=2x﹣2﹣x，

由（1）可知f（x）=2x﹣2﹣x為增函數(shù)，

∵x≥1，∴t≥f（1）= ，

令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2 （t≥ ），

若m≥ ，當(dāng)t=m時(shí)，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2． …（10分）

若m＜ ，當(dāng)t= 時(shí)，h（t）min= ﹣﹣3m=﹣2，解得m= ＞ ，舍去．

綜上可知：m=2

【解析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0即可得出；（2）利用f（1）= ，可得a．可得g（x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．再利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的最值及其幾何意義(利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲�)，還要掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)(在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．