Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右頂點與上頂點分別為，橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，若直線與該橢圓交于兩點，直線的斜率互為相反數(shù).

①求證：直線的斜率為定值；

②若點在第一象限，設(shè)與的面積分別為，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2) ①見解析，②

【解析】試題分析：（1）通過將點代入橢圓方程，結(jié)合離心率為計算即得結(jié)論；

（2）通過（1）可知A（2，0）、B（0，1）．①通過設(shè)直線的方程為，則由題意直線的方程為，分別與橢圓方程聯(lián)立，計算可知P、Q，利用斜率計算公式計算即可；②通過①可知P、Q，利用點P在第一象限可知，分別計算出點P、Q到直線AB的距離，利用三角形面積公式計算、結(jié)合基本不等式化簡即得結(jié)論．

試題解析：

（1）由題意，離心率，所以，所以，

故橢圓的方程為，將點代入，求得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）①設(shè)直線的方程為，則由題意直線的方程為，

由，得，

所以點的坐標(biāo)為，

同理可求得點的坐標(biāo)為.

所以直線的斜率為.

②設(shè)兩點到直線的距離分別為，

因為點在第一象限，則點必在第三象限，

所以，且點分別在直線的上、下兩側(cè)，

所以，

從而，

，

所以，

令，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時， 有最大值為.