已知,函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)求證:對于任意的,都有.

(1)單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為,;(2)證明過程詳見解析.

解析試題分析:本題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題等基礎知識,考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問,先對求導,利用單調遞增,單調遞減,通過解不等式,求出函數(shù)的單調區(qū)間;第二問,由于對于任意的,都有 對于任意的,都有,利用導數(shù)判斷函數(shù)上的單調性,數(shù)形結合求出的最小值和的最大值,進行比較,看是否符合.
(1)函數(shù)的定義域為,,
因為,
所以,當,或時,;
時,
所以,的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為,.        6分
(2)因為在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,
,,
所以,當時,
,可得
所以當時,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),
所以,當時,
所以,當時,
對于任意的,都有,,所以
時,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),
所以,當時,
所以,當時,
對于任意的,都有,,所以
綜上,對于任意的,都有.      13分
考點:導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2(a,b∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在x=1處有極值10,求b的值;
(2)若對于任意的a∈[-4,+∞),f(x)在x∈[0,2]上單調遞增,求b的最小值.

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設函數(shù)f(x)=ln x--ln a(x>0,a>0且為常數(shù)).
(1)當k=1時,判斷函數(shù)f(x)的單調性,并加以證明;
(2)當k=0時,求證:f(x)>0對一切x>0恒成立;
(3)若k<0,且k為常數(shù),求證:f(x)的極小值是一個與a無關的常數(shù).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(14分)(2011•陜西)設f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).
(Ⅰ)求g(x)的單調區(qū)間和最小值;
(Ⅱ)討論g(x)與的大小關系;
(Ⅲ)求a的取值范圍,使得g(a)﹣g(x)<對任意x>0成立.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設函數(shù).
(1)求的單調區(qū)間和極值;
(2)若,當時,在區(qū)間內存在極值,求整數(shù)的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設函數(shù)。
(1)若,求的單調區(qū)間;
(2)若當時,,求a的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的最小值;
(2)若,證明:當時,.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知曲線滿足下列條件:
①過原點;②在處導數(shù)為-1;③在處切線方程為.
(1) 求實數(shù)的值;
(2)求函數(shù)的極值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設函數(shù)f(x)=ex-ax-2.
(1)求f(x)的單調區(qū)間;
(2)若a=1,k為整數(shù),且當x>0時,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.

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