Question

【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，點E、F、M分別為C1D1，A1D1，B1C1的中點，過點M的平面α與平面DEF平行，且與長方體的面相交，交線圍成一個幾何圖形．

（1）在圖1中，畫出這個幾何圖形，并求這個幾何圖形的面積（不必說明畫法與理由）

（2）在圖2中，求證：D1B⊥平面DEF．

Answer 1

【答案】（1）6（2）見解析

【解析】

（1）取A1 B1中點為N,連接N與M，則幾何圖形為ACMN,再求其面積。

（2）建系，利用向量的數量積等于0,說明兩直線垂直。

（1）設N為A1B1的中點，連結MN，AN、AC、CM，

則四邊形MNAC為所作圖形．

由題意知MN∥A1C1（或∥EF），四邊形MNAC為梯形，

且MNAC＝2，

過M作MP⊥AC于點P，

可得MC2，PC，

得MP，

∴梯形MNAC的面積（24）6．

證明：（2）示例一：在長方體中ABCD﹣A1B1C1D1，

設D1B1交EF于Q，連接DQ，

則Q為EF的中點并且為D1B1的四等點，如圖，

D1Q4，

由DE＝DF得DQ⊥EF，又EF⊥BB1，

∴EF⊥平面BB1D1D，∴EF⊥D1B，

，∴∠D1QD＝∠BD1D，

∴∠QD1B+∠D1QD＝∠DD1B+∠BD1Q＝90°，

∴DQ⊥D1B，∴D1B⊥平面DEF．

示例二：設D1B1交EF于Q，連接DQ，則Q為EF的中點，

且為D1B1的四等分點，D1Q4，

由BB1⊥平面A1B1C1D1可知BB1⊥EF，

又B1D1⊥EF，BB1∩B1D1＝B1，∴EF⊥平面BB1D1D，∴EF⊥D1B，

由，得tan∠QDD1＝tan∠D1BD，

得∠QDD1＝∠D1BD，∴∠QDB+∠D1BD＝∠QDB+∠QDD1＝90°，

∴DQ⊥D1B，又DQ∩EF＝Q，∴D1B⊥平面DEF．

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