Question

已知向量

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

）．記f（x）=

m

•

n

（Ⅰ）求f（x）的周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，若f（A）=

1+ 3

2

，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換可得f（x）=

m

•

n

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，由此可得函數(shù)的最小正周期．
（Ⅱ）在△ABC中，根據(jù)（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理求得cosB=

1

2

，B=

π

3

．再由f（A）=

1+ 3

2

，求得A=

π

3

，可得 C=

π

3

，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，
故函數(shù)的最小正周期為

2π

1 2

=4π．
（Ⅱ）在△ABC中，根據(jù)（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理，可得 2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴cosB=

1

2

，B=

π

3

．
∵f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

=

1+ 3

2

，∴sin（

A

2

+

π

6

）=

3

2

，∴

A

2

+

π

6

=

π

3

，或

A

2

+

π

6

=

2π

3

．
求得A=

π

3

，或A=π（舍去），即A=

π

3

，∴C=

π

3

，故△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的周期性，三角恒等變換，三角形內(nèi)角和公式，屬于基礎(chǔ)題．