Question

已知函數(shù)f（x）=x（a+lnx）的圖象在點（e，f（e））（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為3．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若k為整數(shù)時，k（x-1）＜f（x）對任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，利用函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3，可得f′（e）=3，從而可求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）構(gòu)造g（x）=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，求導函數(shù)，令h（x）=x-lnx-2（x＞1），確定h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實根x₀，且滿足x₀∈（3，4），進而可得g（x）=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，求出最小值，即可得解．

解答： 解：（Ⅰ）求導數(shù)可得f′（x）=a+lnx+1，
∵函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3，
∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1（4分）
（Ⅱ）k（x-1）＜f（x）對任意x＞1恒成立，∴k＜

f(x)

x-1

對任意x＞1恒成立，
由（1）知，f（x）=x+xlnx，
令g（x）=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，則g′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

，-----------------------（5分）
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），則h′（x）=

x-1

x

＞0，
所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．…（7分）
因為h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實根x₀，且滿足x₀∈（3，4）．
當1＜x＜x₀時，h（x）＜0，即g'（x）＜0，
當x＞x₀時，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（9分）
所以函數(shù)g（x）=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
所以g（x）_min=g（x₀）=x₀．
因為x₀＞3，所以x＞1時，k＜3恒成立     
故整數(shù)k的最大值是3．…（12分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題時構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．