Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且6a_n+S_n=7
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n+1•（2n+1），證明：對任意n∈N^*，不等式b₆≥b_n恒成立．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)n=1時，a₁=S₁，得a₁=1；當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，將n換為n-1，可得7a_n-6a_n-1=0，運(yùn)用等比數(shù)列的通項公式，即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=（2n+1）•（$\frac{6}{7}$）ⁿ，b_n+1=（2n+3）•（$\frac{6}{7}$）ⁿ⁺¹，作商判斷數(shù)列{b_n}的單調(diào)性，求得最大值，即可得證．

解答 解：（I）6a_n+S_n=7，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁，即有6a₁+S₁=7，
解得a₁=1；
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，
6a_n+S_n=7，6a_n-1+S_n-1=7，
兩式相減可得，7a_n-6a_n-1=0，
可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{6}{7}$，
可得a_n=（$\frac{6}{7}$）^n-1；
（Ⅱ）證明：b_n=a_n+1•（2n+1）=（2n+1）•（$\frac{6}{7}$）ⁿ，
b_n+1=（2n+3）•（$\frac{6}{7}$）ⁿ⁺¹，
由$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{6（2n+3）}{7（2n+1）}$，
$\frac{6（2n+3）}{7（2n+1）}$-1=$\frac{11-2n}{14n+7}$，
當(dāng)n=1，2，…，5時，b₁＜b₂＜b₃＜b₄＜b₅＜b₆，
當(dāng)n=6，7，…時，b₆＞b₇＞…＞b_n＞…
可得b₆為最大值．
即有對任意n∈N^*，不等式b₆≥b_n恒成立．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運(yùn)用通項與前n項和的關(guān)系，考查數(shù)列的單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．