Question

5．設(shè)橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C₁交于M，N兩點(diǎn)．
（I）是否存在直線l，使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由；
（Ⅱ）若AB是橢圓C₁經(jīng)過原點(diǎn)O的弦，且MN∥AB，求證：$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意設(shè)存在直線l為y=k（x-1），（k≠0），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積公式能求出直線l的方程．
（Ⅱ）利用弦長公式求出|MN|，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，消去y，并整理得：${x}^{2}=\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，從而求出|AB|，由此能證明$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$為定值．

解答 解：（Ⅰ）由題可知，直線l與橢圓必相交．
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意．
②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)存在直線l為y=k（x-1），（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=${x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}[{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1]$
=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+k²（$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+1$）
=$\frac{-5{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$=-2．
解得k=$±\sqrt{2}$，
故直線l的方程為y=$\sqrt{2}$（x-1）或y=-$\sqrt{2}$（x-1）．…（8分）
證明：（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由（Ⅰ）得：|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4（\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}）]}$=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，消去y，并整理得：${x}^{2}=\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•|{x}_{3}-{x}_{4}|$=4$\sqrt{\frac{3（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$，
∴$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$=$\frac{\frac{48（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}{\frac{12（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}}$=4為定值…（15分）

點(diǎn)評 本題考查直線方程的求法，考查比值為定值的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、韋達(dá)定理、弦長公式的合理運(yùn)用．