Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos x，sin x），$\overrightarrow$=（cos x，-2cos x）．設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
（1）求f（x）的解析式
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，二倍角余弦公式及變形、兩角和的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)解析式即可；
（2）由余弦函數(shù)的增區(qū)間和整體思想求出f（x）的增區(qū)間．

解答 解：（1）由題意得，向量$\overrightarrow{a}$=（2cos x，sin x），$\overrightarrow$=（cos x，-2cos x），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2cos²x-2sinxcosx
=1+cos2x-sin2x=$\sqrt{2}cos（2x+\frac{π}{4}）+1$，
則f（x）=$\sqrt{2}cos（2x+\frac{π}{4}）+1$；
（2）由$-π+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ（k∈Z）$得，
$-\frac{5π}{8}+kπ≤x≤-\frac{π}{8}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是$[-\frac{5π}{8}+kπ，-\frac{π}{8}+kπ]（k∈Z）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，二倍角余弦公式及變形，兩角和的余弦公式，以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查整體思想，化簡(jiǎn)、變形能力．