Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)新函數(shù)的最值即可證得結(jié)論；

（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分情況求的取值范圍.

（1）當(dāng)時(shí)，.

所以.

設(shè)，則，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，

所以.

（2）因?yàn)?/span>，

所以，在上，

①當(dāng)，，若，則，若，則，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以由題意得，解得，

所以.

②當(dāng)時(shí)，，若，則，若，則，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，

所以由題意得，解得，所以.

③當(dāng)時(shí)，

（i）當(dāng)時(shí)，，若，則，若，則，若，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以由題意得所以所以；

（ii）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，

所以，所以滿(mǎn)足題意；

（iii）當(dāng)時(shí)，，

易得函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以由題意得所以所以.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.