Question

20．等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，且a₃，a₅，a₁₅成等比數(shù)列，若a₅=5，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，則數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n項和取最小值時的n為（　�。�

• A． 3
• B． 3或4
• C． 4或5
• D． 5

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程組求出首項和公差，由此得到$\frac{{S}_{n}}{n}$=n-4，由此能求出數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n項和取最小值時的n．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，且a₃，a₅，a₁₅成等比數(shù)列，
a₅=5，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+2d）（{a}_{1}+14d）=25}\\{{a}_{1}+4d=5}\end{array}\right.$，
由d≠0，解得a₁=-3，d=2，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d}{n}$=-3+n-1=n-4，
由n-4≥0，得n≥4，
∴數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n項和取最小值時的n為3或4．
故選：B．

點評 本題考查等差數(shù)列的前n項和與項數(shù)n的比值的前n項和取最小值時的項數(shù)n的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．