Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，且該三角形的面積為1．
（Ⅰ）求橢圓年C的方程；
（Ⅱ）設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓C的左右焦點(diǎn)，若橢圓C的一個(gè)內(nèi)接平行四邊形的一組對(duì)邊過點(diǎn)F₁和F₂，求這個(gè)平行四邊形面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知求得a=$\sqrt{2}$c，利用三角形的面積公式即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)F₂的直線l：x=ty+1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓方程聯(lián)立得由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、平行四邊形面積、函數(shù)單調(diào)性，能求出平行四邊形面積的最大值．

解答 解：（1）由勾股定理可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=丨F₁F₂丨，即2a²=4c²，則a=$\sqrt{2}$c，
b²=a²-c²=c²，
S=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨×丨OP丨=$\frac{1}{2}$×2c×b=1，即b=c=1，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)F₂的直線l：x=ty+1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，
則$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（t²+2）y²+2ty-1=0，
由韋達(dá)定理，得：y₁+y₂=-$\frac{2t}{{t}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{t}^{2}+2}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{\sqrt{8{t}^{2}+8}}{{t}^{2}+2}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$，
∴S_△OAB=${S}_{△O{F}_{1}A}$+${S}_{△O{F}_{1}B}$=，$\frac{1}{2}$丨OF丨•|y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$，
橢圓C的內(nèi)接平行四邊形面積為S=4S_△OAB=$\frac{4\sqrt{2}\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$，
令m=$\sqrt{1+{t}^{2}}$≥1，則S=f（m）=$\frac{4\sqrt{2}m}{{m}^{2}+1}$=$\frac{4\sqrt{2}}{m+\frac{1}{m}}$，
注意到S=f（m）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴S_max=f（1）=4$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m=1，即t=0時(shí)等號(hào)成立．
故這個(gè)平行四邊形面積的最大值為4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式、三角形面積計(jì)算公式、換元法、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．