【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明： 在定義域上為減函數(shù)；

（Ⅱ）若.討論函數(shù)的零點(diǎn)情況.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可證明函數(shù)在定義域上為減函數(shù)；（Ⅱ） 的根情況，方程化簡(jiǎn)為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷這個(gè)函數(shù)的取值情況，與結(jié)合可得，函數(shù)的零點(diǎn)情況．

試題解析：（Ⅰ）由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

，令，則，

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，所以，

即，所以，所以在定義域上為減函數(shù).

（Ⅱ）的零點(diǎn)情況，即方程的根情況，

因?yàn)?/span>，所以方程可化為，

令，則，令，可得，

當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，所以，

且當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

所以的圖像大致如圖所示，

結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有根；

當(dāng)或時(shí)，方程有一個(gè)根；

當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根.

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

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